「周囲の長さと面積の関係」について考えた

雑記

id:m-hiyamaさんの、福井市の小学生が驚くべき発見というエントリについて、自分なりに考えてみました。

短く言うと、まずある図形があって、その外周を図ったらnLでしたよ、と。
その図形についての情報がこれだけだと、その図形の面積は求められませんよ、というお話です。
id:m-hiyamaさんのところでは、図表も交えて分かり易く書いてあります。

で、一昔前の小学生がこの問題についてある発見をしました、というお話でした。
そこで、「おしゃっ！！」とオトナゲなく張り切って考えてみるわけです。

…結局、自分には法則性を見つけることが出来ませんでした。
なので、取り敢えず面積の最大値について気づいたことを書き留めておきます。

  • まず、外周が固定されているn角形の内角(ラジアン)の和が(n-2)πを超えると面積は最大でなくなる。
  • つまり、同じ外周なら、どこも凹んでいない図形が一番面積が大きい。
  • あと、nが大きい方が面積が大きい。
  • nをどんどん増やしていくと円に限りなく近づく。
  • ということは、外周が同じ図形の中では、円が一番面積が大きい。

真円とはっきり言えないのは、自分が「楕円の外周」から「半径の最大値と最小値」の「それぞれの変化の範囲」を出す方法を知らないからです…＞＜

[追記] n角形の中でも、正n角形が一番面積が大きくなる気がする。やっぱり真円が最大？ [/追記]

どれもこれも証明もなしに書いているので、かなり危ういです。
時間を作って検証します。

で、これって、もしかして義務教育で習うことだったりしますか！？